2010年08月04日

相異なる1000個の自然数から成る集合のうち 総和が500500になるものはいくつあるか?

以下答え

Σi=500500
(1≦i≦1000)
だから1から1000までの自然数の集合がそのひとつである。
この集合をAと名づける。



Aと異なる1000個の自然数からなる集合Bを考える。
そしてAからBへの写像fを次のように定義する。
i<j⇒ f(i)<f(j)



C ={i|i≠f(i),iはAの元}
とすればA≠BなのでC≠φである。
そこでCの最小値をmとする。



m≦k ⇒ k<f(k) である。
このことをjについて数学的帰納法で証明する。
m+j<f(m+j)(0≦j)

j=0のとき
m<f(m)である。
なぜならm>f(m)とすると
m>f(m)>f(m-1)=m-1となって
f(m)が自然数であることに矛盾するから。

jのとき成り立つとすると
m+j<f(m+j)だから
m+j+1<f(m+j)+1≦f(m+j+1)



よって
Σf(i)-Σi = Σ(f(k)-k)≠0
(1≦i≦1000) (m≦k≦1000)
すなわち
Σf(i)≠500500
つまりBの元の総和は500500ではない。
よってこたえはAひとつだけである。
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2010年07月11日

円Cの円周上に適当に2点A,Bをとったとき 線分ABの垂直二等分線はCの中心を通ることを示せ。


この証明を完成させるには次のことを示せばよい。
Bを通りABに垂直な直線とCの円周とのBでない交点をDとする。
BDの垂直二等分線とABの垂直二等分線の交点EがCの中心である。

EA=EB。
なぜならABとその垂直二等分線の交点をMとしたとき
AME≡BME(なぜならAM=BM、ME共通、∠AME=∠BME)だからである。
同様にEB=ED。
よってEA=EB=EDなのでEは3点A、B、Dを通る円の中心である。
しかもA、B、Dを通る円はひとつしかない。
なぜならE以外の点FではFA、FB、FDが一致しない
(なぜならAP=BP⇔PはABの垂直二等分線上の点)
のでA,B,Dを通る円の中心ではないから。
よってEはCの中心である。
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2010年06月12日

4の2009乗を10で割ったあまりを求めよ



4≡-1(mod 5)
4^2009≡(-1)^2009=-1≡4(mod 5)・・・@

4≡0(mod 2)
4^2009≡0≡4(mod 2)・・・A

5と2は互いに素だから
@Aより
4^2009≡4(mod 10)
つまり答えは4

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2010年03月27日

円の中心

円を図のように円周が重なるように二通りの折り方で折ったとき
二つの折り目の交点が円の中心cであることを証明せよ。

円1.png



以下証明

1回目に折ったときにできる直線をl1とするとcはl1上にある。
このことを背理法で示す。
もしl1上にないならcを通りl1に垂直な直線Lを引いたとき
Lと円周との交点をa,bとすればacとbcは半径である。
ところがacとbcは長さが等しくない。
なぜならLとl1との交点をdとすればad=bd(l1で折れば重なるから)だが
ac<ad かつ bc>bd
または
ac>ad かつ bc<bd
だから。
このことは半径の長さが一定であることに反する。
よってcはl1上になければならない。

同様に2回目に折ったときにできる直線をl2とするとcはl2上にある。

よってl1とl2の交点はcである。

円.png

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