2010年08月04日

相異なる1000個の自然数から成る集合のうち 総和が500500になるものはいくつあるか?

以下答え

Σi=500500
(1≦i≦1000)
だから1から1000までの自然数の集合がそのひとつである。
この集合をAと名づける。



Aと異なる1000個の自然数からなる集合Bを考える。
そしてAからBへの写像fを次のように定義する。
i<j⇒ f(i)<f(j)



C ={i|i≠f(i),iはAの元}
とすればA≠BなのでC≠φである。
そこでCの最小値をmとする。



m≦k ⇒ k<f(k) である。
このことをjについて数学的帰納法で証明する。
m+j<f(m+j)(0≦j)

j=0のとき
m<f(m)である。
なぜならm>f(m)とすると
m>f(m)>f(m-1)=m-1となって
f(m)が自然数であることに矛盾するから。

jのとき成り立つとすると
m+j<f(m+j)だから
m+j+1<f(m+j)+1≦f(m+j+1)



よって
Σf(i)-Σi = Σ(f(k)-k)≠0
(1≦i≦1000) (m≦k≦1000)
すなわち
Σf(i)≠500500
つまりBの元の総和は500500ではない。
よってこたえはAひとつだけである。
posted by ? at 22:08 | Comment(1) | TrackBack(0) | 問題 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
この記事へのコメント
この問題の1000をnに、500500をn*(n+1)/2に書き換えても答えも証明も同じです
Posted by 管理人 at 2010年08月05日 10:57
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